Взаимно обратные функции

Для обозначения функции, кроме известного вам y=y(x), часто используют буквы f, g, F, и (читается: "Игрек равен эф от икс") или пишут: g(x)=2x-1, F(x)=x² и т. п. При этом независимую
переменную x обычно называют аргументом функции. Возрастающие и убывающие функции
иногда называют одним словом - монотонные.
Если задана функция y=f(x), то для каждого значения x из области определения функции можно
найти соответствующее значение y. Нередко приходится решать обратную задачу: по данному
значению функции y находить соответствующее значение аргумента x.
Примером может служить формула v=v₀-gt, которая выражает зависимость скорости v движения
тела, брошенного вверх с начальной скоростью v₀, от времени движения t. Из этой формулы
можно найти обратную зависимость - времени t от скорости v:
t=(v-v₀)/g.
В рассмотренном примере каждому значению функции соответствует одно значение аргумента.
Для таких функций можно выразить обратную зависимость  значений аргумента от значений
функции. Такие функции называют обратными.

• Если функция y=f(x) принимает каждое свое значение только при одном значении x, то эту      функцию называют обратимой.

Например, функция y=2x-2 обратима, так как каждое значение y принимается при единственном  значении аргумента x. Это значение можно найти, решая уравнение y=2x-2 относительно x.

Показатель p - положительное действительное нецелое число

В этом случае функция y=x^p обладает следующими свойствами:

• область определения - неотрицательные числа
• множества значений - неотрицательные числа
• функция является возрастающей на промежутке x больше или равно нуль.

график функции  y=x^p, где p положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции  y=x^1/3(0<p<1) или как, например график функции y=x^4/3 (p>1).

Степенная функция, ее свойства и график

Вы знакомы с функциями y=x, y=x², y=x³, y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=x^p, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x^p. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.

1. Показатель p=2n -четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x²ⁿ, где n - натуральное число, обладает следующими

свойствами:

• область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
• множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
• функция y=x²ⁿ  четная, так как x²ⁿ=(-x)²ⁿ
• функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.

График функции y=x²ⁿ имеет такой же вид, как например график функции y=x⁴.

        2. Показатель p=2n-1- нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция  y=x^2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R;
• множество значений - множество R;
• функция y=x^2n-1 нечетная, так как (-x)^2n-1=x^2n-1;
• функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y=x^2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x³.

       3.Показатель p=-2n, где n - натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x^-2n=1/x²ⁿ обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x=0;
• множество значений - положительные числа y>0;
• функция  y=1/x²ⁿ четная, так как 1/(-x)²ⁿ=1/x²ⁿ;
• функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График функции y=1/x²ⁿ имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x².

       4.Показатель p=-(2n-1), где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x^-(2n-1) обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x=0;
• множество значений - множество R, кроме y=0;
• функция y=x^-(2n-1) нечетная, так как (-x)^-(2n-1) =-x^-(2n-1);
• функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.

График функции y=x^-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x³.