Взаимно обратные функции

Для обозначения функции, кроме известного вам y=y(x), часто используют буквы f, g, F, и (читается: "Игрек равен эф от икс") или пишут: g(x)=2x-1, F(x)=x² и т. п. При этом независимую
переменную x обычно называют аргументом функции. Возрастающие и убывающие функции
иногда называют одним словом - монотонные.
Если задана функция y=f(x), то для каждого значения x из области определения функции можно
найти соответствующее значение y. Нередко приходится решать обратную задачу: по данному
значению функции y находить соответствующее значение аргумента x.
Примером может служить формула v=v₀-gt, которая выражает зависимость скорости v движения
тела, брошенного вверх с начальной скоростью v₀, от времени движения t. Из этой формулы
можно найти обратную зависимость - времени t от скорости v:
t=(v-v₀)/g.
В рассмотренном примере каждому значению функции соответствует одно значение аргумента.
Для таких функций можно выразить обратную зависимость  значений аргумента от значений
функции. Такие функции называют обратными.

• Если функция y=f(x) принимает каждое свое значение только при одном значении x, то эту      функцию называют обратимой.

Например, функция y=2x-2 обратима, так как каждое значение y принимается при единственном  значении аргумента x. Это значение можно найти, решая уравнение y=2x-2 относительно x.

Показатель p - положительное действительное нецелое число

В этом случае функция y=x^p обладает следующими свойствами:

• область определения - неотрицательные числа
• множества значений - неотрицательные числа
• функция является возрастающей на промежутке x больше или равно нуль.

график функции  y=x^p, где p положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции  y=x^1/3(0<p<1) или как, например график функции y=x^4/3 (p>1).

Степенная функция, ее свойства и график

Вы знакомы с функциями y=x, y=x², y=x³, y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=x^p, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x^p. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.

1. Показатель p=2n -четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x²ⁿ, где n - натуральное число, обладает следующими

свойствами:

• область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
• множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
• функция y=x²ⁿ  четная, так как x²ⁿ=(-x)²ⁿ
• функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.

График функции y=x²ⁿ имеет такой же вид, как например график функции y=x⁴.

        2. Показатель p=2n-1- нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция  y=x^2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R;
• множество значений - множество R;
• функция y=x^2n-1 нечетная, так как (-x)^2n-1=x^2n-1;
• функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y=x^2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x³.

       3.Показатель p=-2n, где n - натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x^-2n=1/x²ⁿ обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x=0;
• множество значений - положительные числа y>0;
• функция  y=1/x²ⁿ четная, так как 1/(-x)²ⁿ=1/x²ⁿ;
• функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График функции y=1/x²ⁿ имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x².

       4.Показатель p=-(2n-1), где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x^-(2n-1) обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x=0;
• множество значений - множество R, кроме y=0;
• функция y=x^-(2n-1) нечетная, так как (-x)^-(2n-1) =-x^-(2n-1);
• функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.

График функции y=x^-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x³.

Степень с действительным показателем

Покажем, как можно определить степень с иррациональным показателем на примере 3 в
степени корень двух.
Пусть r₁, r₂, r₃, ..., r_n, ...-последовательность десятичных приближений числа корень двух
( например, с недостатком ):
r₁=1,4, r₂=1,41, r₃=1,414, ... .
Эта последовательность стремится к числу корень от двух.
Числа r₁, r₂, r₃, ... являются рациональными, и для них определены степени 3^r₁, 3^r₂, 3^r₃, ... ,
т. е. определена последовательность
3^1,4, 3^1,41, 3^1,414, ... .
Можно доказать, что эта последовательность стремится к некоторому действительному числу.

Арифметический корень натуральной степени

Решить уравнение x⁴=81
Запишем уравнение в виде x⁴-81=0, или (x²-9)(x²+9)
Так как x²+9 не равно нулю, то x²-9=0 или x₁=3, x₂=-3.
Итак, уравнение x⁴=81  имеет два действительных  корня x₁=3, x₂=-3. Их называют корнями
четвертой степени из числа 81, а положительный корень ( число 3 ) называют арифметическим
корнем четвертой степени из числа 81.
Можно доказать, что уравнение xⁿ=a, где n - натуральное число, a - неотрицательное число,
имеет единственный неотрицательный корень. Этот корень называют арифметическим корнем
n -й степени из числа a.

• Определение. Арифметическим корнем натуральной степени n>1 из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n - я степень которого равна a.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Напомним: геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность
 b₁,b₂,b₃,...,b_n,..., что для всех натуральных  n выполняется равенство b_n+1=b_nq, где b_n, q
 не равны нулю.
Например, таковы последовательности:
1, 3, 9, 27, ..., 3^n-1, ..., (b₁=1, q=3);
1, 1/5, 1/25, 1/125, ..., (1/5)^n-1,...,(b₁=1, q=1/5)
2, -4, 8, -16, ...,-(-2)ⁿ, ...,(b₁=2, q=-2)
По формуле b_n=b₁q^n-1 вычисляется n - й член геометрической прогрессии.
По формуле S_n=b₁(1-q)ⁿ/(1-q) вычисляется сумма ее первых n членов, если q не равно 1,
а если q = 1, то S_n=b₁n.
Среди геометрических прогрессий особый интерес представляют так называемые бесконечно
убывающие геометрические прогрессии.
Начнем с примера. Рассмотрим квадраты, изображенные на рисунке. Сторона первого
квадрата равна 1, сторона второго равна 1/2, сторона третьего 1/4 и т. д.

Таким образом, стороны квадратов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2:
1, 1/2, 1/4, ...
Площади этих квадратов образуют геометрическую со знаминателем1/2:
1, 1/4, 1/16, ...
Из рисунка видно, что стороны квадратов и их площади с возрастанием n становится все меньше, приближая к нулю. Поэтому каждая из прогрессий называется бесконечно убывающей

• Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.

Выводим формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с помощью формулы S_n=b₁(1-q)ⁿ/(1-q) . Запишем ее так:S_n=b₁/(1-q)-qⁿ b₁/(1-q)
Так как -1<q<1 то при стремлении n к бесконечности получим S=b₁/(1-q)

Действительные числа

Было показано, что любое рациональное число можно записать в виде бесконечной

десятичной периодической дроби и каждая бесконечная десятичная периодическая

дробь является рациональным числом. Если же бесконечная десятичная дробь

непериодическая, то она не является рациональным числом. Например, дробь

0,101001000100001... , в которой после первой цифры 1 стоит один нуль, после второй

цифры 1 - два нуля и, вообще, после n - ей цифры стоит n нулей, не является периодической.

Поэтому написанная дробь не представляет никакого рационального числа. В этом

случае говорят, что данная дробь является иррациональным числом.

• Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Иррациональные числа, как и рациональные, могут быть положительными и

отрицательными. Например, число 0,123456... , в котором после запятой записаны подряд

все натуральные числа, является положительным иррациональным числом. Число
-5,246810..., в котором после запятой записаны подряд все четные числа, является
отрицательным иррациональным числом.

• Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь, т. е. дробь вида +a₀,a₁a₂a₃... или -a₀,a₁a₂a₃...,  где a₀ целое неотрицательное число, а каждая из букв a₁,a₂,... - это одна из десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Целые и рациональные числа

Изучение математики вы начали с натуральных чисел, т. е. с чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... . При 

сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа. Однако 
разность  и частное натуральных чисел могут не быть натуральными числами.
Дополнением натуральных чисел нулем и отрицательными ( т. е. числами, противоположными
натуральным) множество натуральных чисел, т. е. чисел 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... . При сложении,
вычитании и умножении целых чисел всегда получается целые числа. Однако частное двух 
целых чисел может не быть целым числом.
Введение рациональных чисел, т. е. чисел вида m/n, где m - целое число, n - натуральное 
число, позволило находить частное двух рациональных чисел при условии, что делитель не
 равен нулю. Каждое целое число m также является рациональным, так как его можно
 представить в виде m/1.
При выполнении четырех арифметических действии ( кроме деления на нуль ) над
рациональными числами всегда получаются рациональные числа.
Если рациональное число можно представить в виде дроби m/10^k, где m - целое число,
k - натуральное число, то его можно записать в виде конечной десятичной дроби, Например,
число 327/100 можно записать так: 3,27; число -23/10 можно записать так: -2,3.
Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной
дроби, например 1/3, -2/9, 3/7. Если, например попытаться записать число 1/3 в виде
 десятичной дроби, используя известный алгоритм деления уголком, то получится 
бесконечная десятичная дробь 0,3333... . Бесконечную десятичную дробь 0,3333... 
называют периодической, повторяющуюся цифру 3 - ее периодом. Периодическую дробь
0,333... коротко записывают так: 0,(3); читается; "Ноль целых и три в периоде".