Действительные числа

Было показано, что любое рациональное число можно записать в виде бесконечной

десятичной периодической дроби и каждая бесконечная десятичная периодическая

дробь является рациональным числом. Если же бесконечная десятичная дробь

непериодическая, то она не является рациональным числом. Например, дробь

0,101001000100001... , в которой после первой цифры 1 стоит один нуль, после второй

цифры 1 - два нуля и, вообще, после n - ей цифры стоит n нулей, не является периодической.

Поэтому написанная дробь не представляет никакого рационального числа. В этом

случае говорят, что данная дробь является иррациональным числом.

• Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Иррациональные числа, как и рациональные, могут быть положительными и

отрицательными. Например, число 0,123456... , в котором после запятой записаны подряд

все натуральные числа, является положительным иррациональным числом. Число
-5,246810..., в котором после запятой записаны подряд все четные числа, является
отрицательным иррациональным числом.

• Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь, т. е. дробь вида +a₀,a₁a₂a₃... или -a₀,a₁a₂a₃...,  где a₀ целое неотрицательное число, а каждая из букв a₁,a₂,... - это одна из десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.