Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Напомним: геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность
 b₁,b₂,b₃,...,b_n,..., что для всех натуральных  n выполняется равенство b_n+1=b_nq, где b_n, q
 не равны нулю.
Например, таковы последовательности:
1, 3, 9, 27, ..., 3^n-1, ..., (b₁=1, q=3);
1, 1/5, 1/25, 1/125, ..., (1/5)^n-1,...,(b₁=1, q=1/5)
2, -4, 8, -16, ...,-(-2)ⁿ, ...,(b₁=2, q=-2)
По формуле b_n=b₁q^n-1 вычисляется n - й член геометрической прогрессии.
По формуле S_n=b₁(1-q)ⁿ/(1-q) вычисляется сумма ее первых n членов, если q не равно 1,
а если q = 1, то S_n=b₁n.
Среди геометрических прогрессий особый интерес представляют так называемые бесконечно
убывающие геометрические прогрессии.
Начнем с примера. Рассмотрим квадраты, изображенные на рисунке. Сторона первого
квадрата равна 1, сторона второго равна 1/2, сторона третьего 1/4 и т. д.

Таким образом, стороны квадратов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2:
1, 1/2, 1/4, ...
Площади этих квадратов образуют геометрическую со знаминателем1/2:
1, 1/4, 1/16, ...
Из рисунка видно, что стороны квадратов и их площади с возрастанием n становится все меньше, приближая к нулю. Поэтому каждая из прогрессий называется бесконечно убывающей

• Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.

Выводим формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с помощью формулы S_n=b₁(1-q)ⁿ/(1-q) . Запишем ее так:S_n=b₁/(1-q)-qⁿ b₁/(1-q)
Так как -1<q<1 то при стремлении n к бесконечности получим S=b₁/(1-q)